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電源問答

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基爾霍夫電路定律

時間:2022-10-17 人氣: 來源:山東合運電氣有限公司

  基爾霍夫電路定律(Kirchhoff Circuit Laws)簡稱Gustav_Robert_Kirchhoff.jpg基爾霍夫定律,指的是兩條電路學定律,基爾霍夫電流定律基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恒及電勢的保守性。1845年,古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在,這定律被廣泛地應用于電氣工程學。

  從麥克斯韋方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是,基爾霍夫并不是依循這條思路發展,而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

基爾霍夫電流定律


  基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律,表明:

  所有進入某節點的電流的總和等于所有離開這節點的電流的總和。

  或者,更詳細描述,

  假設進入某節點的電流為正值,離開這節點的電流為負值,則所有涉及這節點的電流的代數和等于零。

  以方程表達,對于電路的任意節點,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0;

  其中,{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k個進入或離開這節點的電流,是流過與這節點相連接的第{\displaystyle k}k個支路的電流,可以是實數或復數。1-22101G40SUN.png

  由于累積的電荷(單位為庫侖)是電流(單位為安培)與時間(單位為秒)的乘積,從電荷守恒定律可以推導出這條定律。其實質是穩恒電流的連續性方程,即根據電荷守恒定律,流向節點的電流之和等于流出節點的電流之和。

導引

  思考電路的某節點,跟這節點相連接有{\displaystyle n}n個支路。假設進入這節點的電流為正值,離開這節點的電流為負值,則經過這節點的總電流{\displaystyle i}i等于流過支路{\displaystyle k}k的電流{\displaystyle i_{k}}i_{k}的代數和:

  {\displaystyle i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}}i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}。

  將這方程積分于時間,可以得到累積于這節點的電荷的方程:

  {\displaystyle q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}}q=\sum _{k=1}^{n}q_{k};

  其中,{\displaystyle q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrmkmk00wmt'}q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrmkmk00wmt'是累積于這節點的總電荷,{\displaystyle q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrmkmk00wmt'}q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrmkmk00wmt'是流過支路{\displaystyle k}k的電荷,{\displaystyle t}t是檢驗時間,{\displaystyle t'}t'是積分時間變數。

  假設{\displaystyle q>0}q>0,則正電荷會累積于節點;否則,負電荷會累積于節點。根據電荷守恒定律,{\displaystyle q}q是個常數,不能夠隨著時間演進而改變。由于這節點是個導體,不能儲存任何電荷。所以,{\displaystyle q=0}q=0、{\displaystyle i=0}i=0,基爾霍夫電流定律成立:

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0。

含時電荷密度

  從上述推導可以看到,只有當電荷量為常數時,基爾霍夫電流定律才會成立。通常,這不是個問題,因為靜電力相斥作用,會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積于節點,大多時候,節點的凈電荷是零。

  不過,電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙,會阻止分別累積于兩塊導板的異性電荷相遇,從而互相抵消。對于這狀況,流向其中任何一塊導板的電流總和等于電荷累積的速率,而不是零。但是,若將位移電流{\displaystyle\mathbf{J}_{D}}\mathbf{J}_{D}納入考慮,則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節,請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律于電容器內部的導板時,才需要這樣思考。若應用于電路分析(circuit analysis)時,電容器可以視為一個整體器件,凈電荷是零,所以原先的電流定律仍適用。

  由更技術性的層面來說,取散度于麥克斯韋修正的安培定律,然后與高斯定律相結合,即可得到基爾霍夫電流定律

  {\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}}}\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}};

  其中,{\displaystyle\mathbf{J}}\mathbf{J}是電流密度,{\displaystyle\epsilon _{0}}\epsilon _{0}是電常數,{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是電場,{\displaystyle\rho}\rho是電荷密度。

  這是電荷守恒的微分方程。以積分的形式表述,從封閉表面流出的電流等于在這封閉表面內部的電荷{\displaystyle Q}Q的流失率:

  {\displaystyle\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrmkmk00wm\mathbf{a}=-{\frac{\mathrmkmk00wmQ}{\mathrmkmk00wmt}}}\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrmkmk00wm\mathbf{a}=-{\frac{\mathrmkmk00wmQ}{\mathrmkmk00wmt}}。

  基爾霍夫電流定律等價于電流的散度是零的論述。對于不含時電荷密度{\displaystyle\rho}\rho,這定律成立。對于含時電荷密度,則必需將位移電流納入考慮。

應用

  以矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟件(electronic circuit simulation)的理論基礎,例如,SPICE或NI Multisim。

基爾霍夫電壓定律


 基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律,表明:KVL.png

  沿著閉合回路所有器件兩端的電勢差(電壓)的代數和等于零。

  或者,換句話說,

  沿著閉合回路的所有電動勢的代數和等于所有電壓降的代數和。

  以方程表達,對于電路的任意閉合回路,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0;

  其中,{\displaystyle m}m是這閉合回路的器件數目,{\displaystyle v_{k}}v_{k}是器件兩端的電壓,可以是實數或復數。

  基爾霍夫電壓定律不僅應用于閉合回路,也可以把它推廣應用于回路的部分電路。[需要解釋]

電場與電勢

  在靜電學里,電勢定義為電場的負線積分:

  {\displaystyle\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrmkmk00wm{\boldsymbol{\ell}}\,\!}\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrmkmk00wm{\boldsymbol{\ell}}\,\!;

  其中,{\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})是電勢,{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是電場,{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是從參考位置到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的路徑,{\displaystyle\mathrmkmk00wm{\boldsymbol{\ell}}}\mathrmkmk00wm{\boldsymbol{\ell}}是這路徑的微小線元素。

  那么,基爾霍夫電壓定律可以等價表達為:

  {\displaystyle\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0}\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0;

  其中,{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}是積分的閉合回路。

  這方程乃是法拉第電磁感應定律對于一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量為常數,則這方程成立。

  這方程指明,電場沿著閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路,就可以分別計算每一段支路的電壓。

理論限制

  由于含時電流會產生含時磁場,通過閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量是時間的函數,根據法拉第電磁感應定律,會有電動勢{\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}出現于閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}。所以,電場沿著閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的線積分不等于零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場;反之亦然,磁場亦會將能量傳遞給電流。

  對于含有電感器的電路,必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由于含時電流的作用,電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢{\displaystyle{\mathcal{E}}_{k}}{\mathcal{E}}_{k}。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律,才能求得正確答案。

頻域


  思考單頻率交流電路的任意節點,應用基爾霍夫電流定律

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0;

  其中,{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k個進入或離開這節點的電流,{\displaystyle I_{k}}I_{k}是其振幅,{\displaystyle\theta _{k}}\theta _{k}是其相位,{\displaystyle\omega}\omega是角頻率,{\displaystyle t}t是時間。

  對于任意時間,這方程成立。所以,設定相量{\displaystyle\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}}\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}},則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律,以方程表達,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0。

  頻域的基爾霍夫電流定律表明:

  所有進入或離開節點的電流相量的代數和等于零。

  這是節點分析的基礎定律。

  類似地,對于交流電路的任意閉合回路,頻域的基爾霍夫電壓定律表明:

  沿著閉合回路所有器件兩端的電壓相量的代數和等于零。

  以方程表達,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0;

  其中,{\displaystyle\mathbb{V}_{k}}\mathbb{V}_{k}是閉合回路的器件兩端的電壓相量。

  這是網目分析(mesh analysis)的基礎定律。


關于基爾霍夫電路定律,小編為大家就分享這些。歡迎聯系我們合運電氣有限公司,以獲取更多相關知識。

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